domingo, 26 de julio de 2009

Modelos Teóricos y Movimientos Planetarios - Dachi P. - 1º Cuat. - 2009

MOVIMIENTOS PLANETARIOS

Modelo Geocéntrico:
El filósofo griego Aristóteles, en el Siglo IV a.C., describió un modelo del "Cosmos" tal y como lo captan nuestros sentidos: colocando la tierra en el centro del universo y el resto de los "Astros Errantes" girando a su alrededor, incluido el Sol.
A la representación de esta idea, construida de hipótesis y observaciones sistematizadas sobre la experiencia, se la llama Modelo Geocéntrico.

El modelo que describió Aristóteles no lograba explicar del todo satisfactoriamente el movimiento de retroceso que experimentan los planetas, al ser vistos desde la Tierra. A esta "aparencia" de imperfección, la "salva" (tal como ya antes sugiriera Platón) Claudio Ptolomeo en el S.II a.C., introduciendo los raros "epiciclos" en las órbitas, lo que deriva en un modelo geométrico genialmente diseñado para explicar las variaciones de trayectoria y de velocidad registradas por los planetas, al ser observados desde la Tierra, suponiéndola fija en el centro del Cosmos.

Modelo Heliocéntrico:
Nicolás Copérnico (1473-1543) postuló y describió un universo con "el Sol fijo en el centro" y el resto de los astros "girando en circunferencias" a su alrededor, menos la Luna, que gira en torno a la Tierra. Este es el Modelo Heliocéntrico. Este modelo lograba explicar las observaciones astronómicas de Ptolomeo y adoptaba una configuración mucho mas simple que los anteriores.
Galileo Galilei aportó a la aceptación de este modelo al descubrir, con un pequeño telescopio, cuatro satélites que giraban alrededor de Júpiter. La observación de este fenómeno contribuyó a mostrar fehacientemente que era "veroscímil" el modelo heliocéntrico, incidiendo luego en la "falsación experimental" y la progresiva pérdida de vigencia del modelo geocéntrico, tanto en la ciencia como en la historia del pensamiento.

JOHANNES KEPLER: SUS "LEYES" DEL MOVIMIENTO PLANETARIO

Los modelos del universo propuestos hasta ahora consideraban que los cuerpos seguían una trayectoria circular alrededor de un astro central. Pero las observaciones astronómicas mas precisas de Ticho Brahe no se ajustaban naturalmente a esa idea. Para explicarlo Johannes Kepler (1571-1630) recurrió a la idea de la trayectoria elíptica.

-1ª Ley K.: los planetas se mueven alrededor del sol, en órbitas en forma de elipse, en uno de cuyos focos (y NO en el Centro) se encuentra el sol.



-2ª Ley K.: la recta que une el sol con un planeta (radio vector) "barre", en su movimiento de traslación orbital, "áreas iguales en tiempos iguales". Esto explica por qué los planetas se mueven con mayor rapidez en su trayectoria cuando pasan por el perihelio (punto más próximo de la órbita) que cuando pasan más lentamente por el afelio (punto más distante).
-3ª Ley K.: el cuadrado del periodo orbital de los planetas (que es el tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa, o "revolución", alrededor de el sol) es proporcional al cubo de sus distancias medias al sol.

Tabla 1: Planetas; s/su Distancia media del sol; y s/su Período.
Tabla 2: Planetas; s/su Distancia media del sol, al cubo; y s/su Periodo, al cuadrado.
Sintetizando, y representando en escalas logarítmicas, La 3º Ley de Kepler afirma la PROPORCIONALIDAD entre los cubos de los Radios Medios y los cuadrados de los Períodos.

Modelos de Movimiento Planetarios - Facundo R. - 1er. Cuat. - 2009

Movimiento planetarios


1-Teoría geocéntrica

Durante mucho tiempo, al observar en conjunto el movimiento de los astros, los astrónomos y las astrónomas adoptaron distintos modelos interpretativos que les resultaban útiles y suficientes, y suponian que la tierra estaba fija, ubicada en el centro del universo. A ese conjunto convergente de modelos compuestos de datos observacionales, hipótesis explicativas y modestas comprobaciones empíricas, se lo ha denominado teoría geocéntrica.

Es la teoría más básica de ubicación de la Tierra en el universo. Coloca a la Tierra en el centro del universo y los planetas y otros astros, incluido el Sol, giran alrededor de ella (geo: tierra). Esta teoría fue sintetizada por Aristóteles y mantenida hasta el siglo XVI, aunque fue completada por Ptolomeo en el siglo II en su obra El Almagesto.

Durante algunos períodos, los planetas aparecían como desplazándose en sentido contrario al predominante en su orbita y después retomaba el sentido de rotación original. Como si alguien estuviera observando el movimiento de una calesita y viera en algún momento que un caballito retrocede, se mueve en sentido contrario a los demás y después... vuelve a retomar el sentido de rotación inicial !!!

2-Teoría heliocéntrica

Nicolás Copérnico, concibió un nuevo modelo: el sol se ubicaba en el centro del universo, donde la tierra al igual que los demás planetas giraban en torno a él. Esta teoría fue llamada teoría heliocéntrica.

Copérnico sugiere que, tal vez, la Tierra se movería alrededor del Sol, como un planeta más y que el complicado Movimiento de los planetas en el cielo era el resultado del movimiento de la Tierra alrededor del Sol combinado con la propia rotación terrestre.

A pesar del intento de presentar un modelo heliocéntrico por parte de Aristarco varios siglos antes y del de Copérnico durante el renacimiento, lo cierto era que el modelo Ptolomeico describía con bastante exactitud los movimientos de los planetas como para contentar a muchos de los astrónomos y astrólogos de la época. Pero lo que atrajo la atención y el interés a Copérnico y a los demás científicos que se fijaron en su modelo, era la extrema simplicidad del mismo.

A pesar de todo, habría que esperar a Johannes Kepler para ver surgir un “modelo bien fundado” en los datos observacionales, del movimiento planetario. Kepler había estudiado astronomía mucho antes de encontrarse con Tycho Brahe. Favoreció el punto de vista copernicano y mantuvo correspondencia con Galileo.

Copérnico propuso que cada planeta se movía alrededor del Sol, en una órbita circular, a velocidad constante. En particular, Tycho había hecho (¡sin telescopio, solo a simple vista!) multitud de mediciones muy precisas de la posición de Marte, que diferían con las predicciones de ambos astrónomos, Ptolomeo y Copérnico.

Cuando Tycho muere, Kepler obtiene esas observaciones e intenta explicarlas. Usando esta conjetura copernicana, Kepler procedió a calcular los movimientos de los planetas en el cielo. Sus posiciones así calculadas casi satisfacían las observadas, pero no de forma exacta.


En 1609, el año mágico en el que Galileo posiciona su telescopio por vez primera hacia los cielos, Kepler entrevió lo que, luego demostraría, pudiera ser la respuesta y publica sus primeras dos leyes sobre el movimiento planetario:

1. Los planetas se mueven a lo largo de elipses, con el Sol en un foco.

2. La línea desde el Sol a los planetas cubre iguales áreas en iguales tiempos.

En 1619 Kepler publicó su tercera ley:


3. El cuadrado del período orbital T es proporcional al cubo de la distancia media del Sol. En fórmula: T2 = k • a3


Siendo “a” la mitad de la suma de la distancia mayor y la menor, y “k” una constante, la misma para todos los planetas.

Suponga que medimos todas las distancias en "unidades astronómicas" ó UA, siendo 1 UA la distancia media entre la Tierra y el Sol. Luego si a = 1 UA, T es un año y k, con estas unidades, es igual a 1, por ejemplo: T2 = a3.

Aplicando ahora la fórmula a cualquier planeta, si T es conocido por las observaciones durante muchos años, para el planeta considerado, su distancia media del Sol, se calcula fácilmente. Hallar el valor de 1 UA en kilómetros, o sea, hallar la escala real del sistema solar, no fue fácil. Nuestros mejores valores actualmente son las proporcionadas por las herramientas de la era espacial, mediante mediciones de radar de Venus y por pruebas espaciales planetarias; siendo una buena aproximación:

1 UA = 150 000 000 Km.
3ª Ley de Kepler : T2 = a3

Las discrepancias son debidas a la limitada precisión

T : Período de Órbita (en años)
a : Distancia media del planeta al Sol en UA (unidades astronómicas)


Las leyes de Kepler no solo fueron confirmadas y explicadas por científicos posteriores, sino que se aplican a cualquier sistema orbital de dos cuerpos, incluidos los satélites artificiales en órbita alrededor de la Tierra. La constante k' para los satélites artificiales es diferente a la k obtenida para los planetas (pero es la misma para cualquier satélite).

sábado, 18 de julio de 2009

Modelos de Movimientos Planetarios - Luisina L. - 1ºCuat. - 2009

Desde la antigüedad se ha observado el movimiento de los planetas, la teoría geocéntrica fue la primera en explicarlo. Esta teoría coloca a la Tierra en el centro del Universo, y a los astros, incluso el sol, girando alrededor de ella. Fue formulada por Aristóteles y estuvo en vigor hasta el siglo XVI.

La Tierra era considerada como una esfera que descansaba en el centro del Universo. Las estrellas y los planetas giraban uniformemente alrededor de la Tierra en perfectos círculos celestiales, ordenados de la siguiente manera (desde el centro hacia el exterior): Luna, Sol, Venus, Mercurio, Marte, Júpiter, Saturno y otras estrellas.

Tycho Brahe hizo numerosas observaciones astronómicas que le permitieron detectar que los movimientos lunares variaban, calculó la longitud de un año con un error que no llegaba a un segundo, y observó todos los movimientos planetarios. Es indudable que todas las conclusiones que sacaba de sus propias observaciones le hacían pensar. No concordaban con el sistema en el que siempre creyó. Pensó en un nuevo concepto cosmológico a medio camino entre el sistema geocéntrico y el heliocéntrico. Según éste Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno girarían alrededor del Sol, y éste a su vez, giraba, con toda la corte planetaria, alrededor de la Tierra.

Johannes Kepler retoma los datos obtenidos por Tycho Brahe y descubre ciertas irregularidades en la trayectoria de los planetas, en comparación con la visión, de Copérnico, que sostenía hasta ese momento sobre el movimiento perfectamente circular de los planetas alrededor de un centro que era el sol. Las leyes formuladas por Kepler sirven de base a la teoría heliocéntrica, que se contrapone a la teoría geocéntrica.

1ª Ley de Kepler: Los planetas realizan una trayectoria en forma de elipse alrededor del sol, siendo éste uno de los focos de la elipse. De esta manera se produce una ruptura con la idea del sol como centro.
La órbita no es circular sino que es elíptica, y el sol no ocupa el centro de la trayectoria, sino uno de los focos de la órbita elíptica.
La siguiente tabla presenta la posición angular de Mercurio, la distancia al sol y los días en que dichas observaciones fueron realizadas:

A partir de los datos de esta tabla podemos representar mediante un gráfico con coordenadas polares la trayectoria de Mercurio alrededor del sol:
Este gráfico permite visualizar el planteo de la primera ley: la órbita planetaria no es circular, sino que es elíptica, y el sol no ocupa el centro de la trayectoria, sino uno de los focos de la órbita elíptica.

2ª Ley de Kepler: Los datos de la tabla detallada más arriba volcados en el gráfico, permiten comprender también el acercamiento a esta ley. En períodos iguales, las áreas recorridas por los planetas son iguales, siendo la "velocidad areal" constante.

La velocidad de un planeta es mínima cuanto más alejado del sol se encuentra.

Para tiempos iguales las áreas barridas por la línea que une al sol son iguales.


3ª Ley de Kepler: (Busca una relación entre todos los planetas). Formula la posibilidad de alineación de todos los planetas, teniendo en cuenta el semi-eje mayor de la órbita y el período, es decir la distancia media al sol y el tiempo en dar una vuelta alrededor de él. Con los datos de esta tabla se puede realizar un gráfico pero no es posible encontrar una ley o una regularidad.

Se descubrió a partir de diversos cálculos que el radio al cubo es igual al período al cuadrado, lo que permitió encontrar la alineación de estos tres planetas.
Si realizáramos la misma operación con el resto de los planetas, obtendríamos gráficos similares. De esta forma quedaría expuesta la posibilidad de alineación mediante una ley que abarque a todos los planetas.

A continuación podremos ver la órbita de mercurio, vista desde la Tierra al considerarla inmóvil.


Antiguamente se creía que el planeta Tierra no giraba sino que se mantenía fijo, con esta postura la órbita de Mercurio, desde la Tierra, se veía con un recorrido muy particular.

lunes, 13 de julio de 2009

Tipos de Movimientos - Santiago V. - 1ºCuat. - 2009

Tipos de Movimientos - Santiago V. - 1ºCuat. - 2009

Presentación

El eje que seguimos en esta primera parte de la cursada de la Enseñanza de las Ciencias Naturales, fue el estudio de diferentes tipos de movimientos. Comenzamos centrándonos en los movimientos planetarios, para lo cual tuvimos que abordarnos más de lleno en la ciencia de la astronomía. Luego nos interiorizamos en el estudio de los movimientos simples. Para esto, los clasificamos según la forma de la trayectoria y el modo de moverse del cuerpo en movimiento.

Movimientos planetarios:

Para analizarnos habría que tomar en cuenta la gran revolución copernicana de la astronomía, ya que fue ella quien inauguró la astronomía moderna y comenzó a establecer las bases de este movimiento. Esto quiere decir que la concepción acerca del tipo de movimientos que describen los planetas tomo un giro de 180 grados con el pasaje de la teoría geocéntrica a la heliocéntrica.

Teoría geocéntrica: Coloca a la Tierra en el centro del Universo y los astros, incluido el Sol, girando alrededor de ella. Los planetas se movían en sus propias esferas circulares, describiendo movimientos circulares.
Grafico I: Movimiento de Mercurio visto desde la Tierra, según la teoría geocéntrica.

Teoría heliocéntrica: es la que sostiene que la Tierra y los demás planetas giran alrededor del Sol, formulada por Copérnico en el siglo XVI, y complementada por Kepler. Este fue quien, a partir de los estudios de su antecesor Tycho Brahe, pudo determinar con mayor exactitud el movimiento de los astros, con la redacción de las tres leyes:

1. Los planetas se mueve alrededor del Sol en elipses, estando el Sol en un foco.

Gráfico II: Primera ley de Kepler.

2. La línea que conecta a Sol con un planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.

Gráfico III: Segunda ley de Kepler, donde las áreas coloreadas son iguales.

3. El cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo de la distancia media desde el Sol.

Gráfico IV: Tercera ley de Kepler: Área mayor al cubo en función del cuadrado del período.


Movimientos simples:

Dentro de esta categoría, hay muchos y muy variados movimientos. Para diferenciarlos, tomamos como criterios de clasificación la forma de la trayectoria y el modo de moverse del cuerpo en movimiento. Así, con el primer criterio podemos estudiar los movimientos rectilíneos, los circulares y otros. Y, según el modo, se pueden dividir en uniformes, uniformemente variados, variados y oscilatorios.

Movimientos rectilíneos:

MRU: Un movimiento es rectilíneo cuando describe una trayectoria recta y uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, es decir, su aceleración es nula. Ejemplo: un tren que se mueve por unas vías rectas con velocidad constante.

MRUV: El Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es aquél en el que un cuerpo se desplaza sobre una recta con aceleración constante. Ejemplo: una bola que se deja caer en un plano inclinado.

Variados: El cuerpo de mueve en una trayectoria recta, pero con una aceleración no constante. Ejemplo: un auto en una pista rectilínea.

Oscilatorios: La partícula se mueve periódicamente respecto a una posición de equilibrio, describiendo una trayectoria rectilínea. Ejemplo: Una pesa que se suelta en un resorte, siempre y cuando oscile solo verticalmente.

Movimientos circulares:

MCU: Movimiento cuya trayectoria será una circunferencia y el modulo de la velocidad de giro constante. Por ejemplo, la aguja segundera del reloj.

MCUV: Modulo de la aceleración constante en trayectoria circular. Los trompos describen este tipo de movimiento.

Variados: La aceleración no es constante, sino que varía. Un auto en una pista circular, como la de Indianápolis, respeta este tipo de movimiento.

Oscilatorio: Oscila describiendo una trayectoria circular, tal es el caso del péndulo de torsión.

Otros: En esta clasificación, las trayectorias que describen los cuerpos no coinciden ni con una recta no con una circunferencia. Entran en esta categoría, entonces, una gran variedad de movimientos. Por ejemplo, un uniformemente variado sería un espiralado, y un variado cualquier cuerpo que se mueva al azar.

La Materia y Sus Movimientos Naturales - Samanta V. T. - 1º Cuat. - 2009

La Materia y Sus Movimientos Naturales - Samanta V. T.

Movimientos planetarios

Teoría Geocéntrica: Ptolomeo (S II d.C.) estableció esta teoría, la cual indica que la Tierra está inmóvil y es el centro del Universo. Según la misma el astro más cercano a la Tierra es la Luna y a medida que nos vamos alejando, están Mercurio, Venus y el Sol casi en línea recta, seguidos sucesivamente por Marte, Júpiter, Saturno y las llamadas estrellas inmóviles.

Así cuando observaban a Mercurio, los antiguos divisaban esta órbita en el cielo:
La cual, generaba agudos interrogantes acerca del " ¿ Por Qué ? " de los tres períodos de retroceso parcial a lo largo de la progresión anual en la órbita.

Teoría Heliocéntrica:

Johannes Kepler (1571-1630) Astrónomo y matemático polaco; fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el movimiento de los planetas.
Fue una figura clave en la revolución científica, pues re-convirtió las tablas astronómicas geocéntricas, heredadas de Tycho Brahe, las "imaginó" referidas a un punto fijo coincidente con el Sol, y transformó las órbitas, ahora basadas en datos empíricos, según la perspectiva Heliocéntrica que había sugerido Copérnico...
Esta re-configuración de la base de datos, le daba la siguiente tabla:
Por lo cual actualmente diríamos por cada cuarto de año Mercurio cumple un año.

Primera Ley de Kepler:
1. Los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los focos de la elipse.
• Semieje mayor a
• Semieje menor b
• Semidistancia focal c
• r1 es la distancia más cercana al foco (cuando ð=0)
• r2 es la distancia más alejada del foco (cuando ð=ð).

Segunda Ley de Kepler:
2. Los planetas, en su recorrido por la elipse, barren áreas iguales en el mismo tiempo.
Al planeta le toma el mismo tiempo recorrer los arcos AB y CD, ya que el área subtendida desde ellos al foco, es la misma.
Gráfico de Distancia.
Gráfico de Velocidad.











Cuando el planeta se aleja más del Sol la velocidad es más lenta, "barriendo" Áreas iguales en Tiempos iguales.


Tercera Ley de Kepler:

3. El cuadrado de los períodos de los planetas es proporcional al cubo de la distancia media al Sol.
Gracias a esta tercera le se permite predecir la distancia de in astro con respecto al Sol, siempre y cuando se conozca su periodo (T). También permite deducir que los planetas más lejanos al Sol orbitan a menor velocidad que los cercanos.
Gráfico Mercurio, Venus y Tierra.

Gráfico Marte, Saturno y Júpiter.
Gráfico Urano, Neptuno y Plutón.












Movimientos Simples

1) Movimiento Rectilineo Uniforme:
Se considera que un movimiento es rectilíneo cuando describe una trayectoria recta, y uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, es decir, su aceleración es nula.
Esto implica que la velocidad media entre dos instantes cualesquiera siempre tendrá el mismo valor.
La distancia recorrida se calcula multiplicando la velocidad por el tiempo transcurrido.

Durante un movimiento rectilíneo uniforme también puede presentarse que la velocidad sea negativa. Por lo tanto el movimiento puede considerarse en dos sentidos, el positivo sería alejándose del punto de partida y el negativo sería regresando al punto de partida.

El Movimiento rectilineo uniforme se caracteriza por:
a) Movimiento que se realiza en una sola dirección en el eje horizontal.
b) Velocidad constante; implica magnitud y dirección inalterables. La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez.

c) Este movimiento no presenta aceleración (aceleración=0).





Un ejemplo para este movimiento es el tren (pero teniendo en cuenta solo un transcurso acotado entre la salida y llegada)




2) Movimiento Circular Uniforme:

El movimiento circular uniforme es aquel movimiento circular en el que un cuerpo se desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal manera que en tiempos iguales recorra espacios iguales. No se puede decir que la velocidad es constante ya que, al ser una magnitud vectorial, tiene módulo, dirección y sentido: el módulo de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento pero la dirección está constantemente cambiando, siendo en todo momento tangente a la trayectoria circular. Esto implica la presencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.
Este movimiento se caracteriza por:

a) Eje de giro: es la línea alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo, pero para cada instante de tiempo, es el eje de la rotación.
b) Arco (geometría): partiendo de un eje de giro, es el ángulo o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián.
c) Velocidad angular: es la variación de desplazamiento angular por unidad de tiempo
d) Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo
e) En dinámica del movimiento giratorio se tienen en cuenta además:
1) Momento de inercia: es una cualidad de los cuerpos que resulta de multiplicar una porción de masa por la distancia que la separa al eje de giro.
2) Momento de fuerza: o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro.

Un ejemplo para este movimiento es el del reloj.

3) Movimiento Espiralado Uniforme:

Si una línea recta que permanece fija en un extremo, se la hace girar en el plano con velocidad constante y, al mismo tiempo, se mueve un punto sobre la recta con velocidad constante comenzando por el extremo fijo, el punto describe en el plano una espiral.
Se caracteriza porque entre dos espiras, la distancia es la misma, la expansión y la rotación tienen lugar a la misma velocidad, y el vínculo entre ellas es lineal.
Un ejemplo de esta espiral lo encontramos al enrollar una cuerda sobre si misma.

4) Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado:

Un movimiento es rectilíneo uniformemente variado cuando la trayectoria es una línea recta y experimenta aumentos o disminuciones de la velocidad proporcionales al tiempo.

Si la velocidad aumenta el movimiento es acelerado, pero si la velocidad disminuye es retardado.




Un ejemplo de este movimiento es un móvil que se desliza sin rozamiento en un plano inclinado.



5) Movimiento circular uniformemente variado:

En este movimiento el objeto móvil se desplaza sobre una circunferencia variando el módulo tanto de su velocidad angular como tangencial continuamente.
Se caracteriza por tener aceleración angular y tangencial que modifican a las velocidades angular y tangencial.
a) La aceleración angular es la variación de la velocidad angular en el tiempo.
b) La aceleración tangencial es la variación de la velocidad tangencial en el tiempo.
c) La velocidad angular es la diferencia entre el ángulo final e incial, dividida por el tiempo. Se calcula sumando la velocidad angular inicial al producto de la aceleración angular por el tiempo.
d) La velocidad tangencial es la diferencia entre la posición final e inicial, dividida por el tiempo. Se calcula sumando la velocidad tangencial inicial al producto de la aceleración tangencial por el tiempo.


Ejemplo de este movimiento es el juego Zamba.

6) Movimiento oscilatorio armónico:

Es el de un objeto que pasa cada cierto instante por las mismas posiciones.
Se dice que el objeto ha efectuado una oscilación cuando se encuentra en la misma posición que la de partida y moviéndose en el mismo sentido.

Este movimiento se caracteriza por poseer:
Periodo (T): tiempo que tarda en producirse una oscilación.
Frecuencia (f): número de oscilaciones que se producen cada segundo.

Leyes del péndulo:

1) El tiempo de oscilación, o período, es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del péndulo, y es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración debida a la gravedad.

2) Las pequeñas oscilaciones del péndulo son isócronas aunque su amplitud disminuya poco a poco.

3) el periodo o tiempo de oscilación es independiente de la sustancia de que está hecho el péndulo.

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida en el punto o por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

El péndulo describe en su trayectoria un arco de circunferencia de radio ∫. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangenial y en la dirección normal.
La fuerza que actúa sobre la partícula de masa m son dos.
Una fuerza vertical, el peso mg.
La acción del hilo, una fuerza T en la dirección radial.

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg sen θ en la dirección tangencial y mg cos θ en la dirección radial, que es equilibrada por la tensión del hilo.